Науково-методична робота - Математика
Середа, 10 лютого 2021 06:50
Розроблено вчителем - методистом Ольгою Науменко
11 КЛАС
ТЕМА КОМБІНАТОРИКА
Елементи комбінаторики. Комбінаторні правила суми та добутку
Формування компетентностей:
Ознайомити учнів із прикладами комбінаторних задач; домогтися засвоєння комбінаторних правил суми та добутку; сформувати вміння застосовувати правила суми та добутку до розв’язування задач
Основні теоретичні відомості
Наочний матеріал
Відеоуроки
https://www.youtube.com/watch?v=NORqFoG5pW0
https://www.youtube.com/watch?v=QYISoYM5E8Q
Математичний диктант
- У корзині лежать 5 яблук і 8 груш – усі різних сортів. Скількома способами можна вибрати один із фруктів?
- У кафе є 6 видів тістечок і 2 види чаю. Скількома способами можна вибрати одне тістечко і один чай?
- Скількома способами можна вибрати приголосну й голосну букви зі слова «графік»?
- Із 4 екземплярів підручника з геометрії, 6 екземплярів підручника з фізики та 5 екземплярів підручника з хімії необхідно скласти комплект, у якому по одному підручнику з геометрії, фізики та хімії. Скількома способами це можна зробити?
- Ресторан пропонує в меню 7 різних салатів, 5 різних м’ясних страв і 4 різні десерти. Скільки існує способів вибрати обід із двох страв різного виду?
- Скільки трицифрових чисел можна записати за допомогою цифр 3, 4, 5, 6, 7?
Відповіді: 1) 13; 2) 12; 3) 8; 4) 120; 5) 83; 6) 125
Перестановки
Формування компетентностей:
Сформувати поняття перестановок; домогтися засвоєння формули для обчислення числа перестановок; сформувати вміння розв’язувати задачі на обчислення числа перестановок
Основні теоретичні відомості
Наочний матеріал
Відеоуроки
https://www.youtube.com/watch?v=I-kCxo-9Gn4&t=451s
https://www.youtube.com/watch?v=KAGMqyvnJjo
Виконання тестових завдань
Варіант 1
- Обчисліть
|
А |
Б |
В |
Г |
|
1 |
96 |
5 |
106 |
- У школі є n класів і n класних керівників. Скількома способами можна розподілити класне керівництво між вчителями?
|
А |
Б |
В |
Г |
|
2n |
|
n |
n! |
- Скільки різних семицифрових чисел можна записати за допомогою цифр 0, 2, 3, 5, 6, 8, 9 , якщо кожну з них використовувати тільки один раз?
|
А |
Б |
В |
Г |
|
5033 |
5040 |
4320 |
13 |
- Із букв А, Р, С, О складають різні слова, які не містять однакових букв. Скільки серед цих слів починаються з букви С?
|
А |
Б |
В |
Г |
|
6 |
20 |
3 |
18 |
Варіант 2
- Обчисліть
|
А |
Б |
В |
Г |
|
22 |
2 |
12 |
4 |
- На випускному балі зібралися k юнаків і k дівчат. Скількома способами вони можуть розібратися на пари для участі в танці?
|
А |
Б |
В |
Г |
|
|
|
|
|
- Скільки різних п’ятицифрових чисел можна записати за допомогою цифр 0, 1, 6, 7, 9 , якщо кожну з них використовувати тільки один раз?
|
А |
Б |
В |
Г |
|
9 |
115 |
120 |
96 |
- Із букв Б, Е, Г, Н складають різні слова, які не містять однакових букв. Скільки серед цих слів починаються з букви Е?
|
А |
Б |
В |
Г |
|
115 |
24 |
4 |
96 |
Відповіді:
Варіант 1 1-А, 2-Г, 3-В, 4-А
Варіант 2 1-А, 2-В, 3-Г, 4-Б
Розміщення
Формування компетентностей:
Сформувати поняття розміщень без повторень; домогтися засвоєння формули для обчислення числа розміщень; сформувати вміння розв’язувати задачі на обчислення числа розміщень без повторень
Основні теоретичні відомості
Наочний матеріал
Відеоуроки
https://www.youtube.com/watch?v=eXxCxnaL24c
Виконання тестових завдань
Варіант 1
- Обчисліть
|
А |
Б |
В |
Г |
|
60 |
59 |
36 |
56 |
- Скільки двоцифрових чисел можна утворити із цифр 1, 3, 5, 6, 7 так, щоб жодна із цифр не повторювалася?
|
А |
Б |
В |
Г |
|
116 |
6 |
10 |
20 |
- Скількома способами можна обрати голову зборів і секретаря з 12 осіб, присутніх на зборах?
|
А |
Б |
В |
Г |
|
132 |
24 |
144 |
55 |
- Скільки існує правильних дробів, чисельник і знаменник яких – прості числа , не більші за 12?
|
А |
Б |
В |
Г |
|
6 |
10 |
20 |
15 |
Варіант 2
- Обчисліть
|
А |
Б |
В |
Г |
|
29 |
24 |
27 |
30 |
- Скільки трицифрових чисел можна утворити із цифр 2, 4, 6, 7, 8, 9 так, щоб жодна із цифр не повторювалася?
|
А |
Б |
В |
Г |
|
60 |
120 |
18 |
714 |
- Наукове товариство складається з 10 членів. Скількома способами можна обрати голову , заступника голови та секретаря?
|
А |
Б |
В |
Г |
|
20 |
100 |
120 |
720 |
120
- Скільки існує неправильних дробів, чисельник і знаменник яких – прості числа , не більші за 14?
|
А |
Б |
В |
Г |
|
7 |
30 |
15 |
21 |
Варіант 1 1-В, 2-Г, 3-А, 4-Б
Варіант 2 1-Б, 2-Б, 3-Г, 4-В
Комбінації
Формування компетентностей:
Сформувати поняття комбінацій; домогтися засвоєння формули для обчислення числа комбінацій; сформувати вміння розв’язувати задачі на обчислення числа комбінацій
Основіні теоретичні відомості
Наочний матеріал
Відеоуроки
https://www.youtube.com/watch?v=eXxCxnaL24c
Математичний диктант
- Обчисліть :
- Обчисліть :
- Обчисліть :
- Скількома способами можна вибрати двох чергових в класі, де навчаються 16 учнів?
- У вазі стоїть 5 білих і 3 рожеві різні троянди. Скількома способами можна вибрати з вази 2 троянди одного кольору?
- Розв’яжіть рівняння :
Практична робота
І . Тестові завдання
- Скільки різних прямих можна провести через 9 даних точок площини, з яких жодні три не лежать на одній прямій?
|
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
18 |
84 |
504 |
72 |
36 |
- Скільки різних правильних дробів можна скласти із чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 так, щоб кожний дріб складався з двох чисел?
|
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
40 320 |
112 |
56 |
28 |
14 |
- Дванадцять друзів при зустрічі потиснули один одному руку. Скільки було зроблено рукостискань?
|
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
24 |
132 |
66 |
33 |
Інша відповідь |
- Скільки існує способів вибору старости та заступника в класі з 28 учнів?
|
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
378 |
756 |
812 |
189 |
56 |
- Учневі треба скласти 4 екзамени протягом 9 днів. Скількома способами це можна зробити?
|
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
126 |
3024 |
120 |
504 |
36 |
- Скільки різних прямих можна провести через 9 даних точок площини, з яких жодні три не лежать на одній прямій?
|
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
18 |
84 |
504 |
72 |
36 |
- Скільки різних правильних дробів можна скласти із чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 так, щоб кожний дріб складався з двох чисел?
|
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
40 320 |
112 |
56 |
28 |
14 |
- Дванадцять друзів при зустрічі потиснули один одному руку. Скільки було зроблено рукостискань?
|
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
24 |
132 |
66 |
33 |
Інша відповідь |
- Скільки існує способів вибору старости та заступника в класі з 28 учнів?
|
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
378 |
756 |
812 |
189 |
56 |
- Учневі треба скласти 4 екзамени протягом 9 днів. Скількома способами це можна зробити?
|
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
126 |
3024 |
120 |
504 |
36 |
- Із цифр 1, 2, 3, 4, 5 складено всі можливі п’яти значні числа без повторень цифр. Скільки серед цих п’ятизначних чисел таких, які не починаються цифрою 3?
|
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
120 |
96 |
24 |
116 |
118 |
II. Завдання з короткою відповіддю
12.Сцена театру освітлюється двома нерухомими прожекторами. Кожен прожектор може давати біле, жовте, синє або червоне світло. Скільки всього існує різних способів освітлення сцени, якщо увімкнути обидва прожектори?
13. У даний момент часу у фірми таксі вільними є 16 автомобілів: 5 білого кольору, 1 – червоного, 4 – сірого і 6 – жовтого. Інспектор з 16 наявних машин вибирає 2 для перевірки. Скільки всього існує різних варіантів вибору інспектором автомобіля для перевірки?
14. Скільки всього різних трицифрових чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, 4 і 9 так, що у кожному числі жодна цифра не повторюється?
15.Скільки існує різних дробів вигляду , якщо число m набуває значень 2; 3; 4 або 5, а число n набуває значень 7; 11; 17 або 19?
16.На столі стоїть 7 синіх і 5 червоних пронумерованих чашок. Скількома способами можна взяти зі столу 3 чашки одного кольору?
17.У вазі стоїть 11 червоних і 7 рожевих різних гвоздик. Скількома способами можна вибрати з вази 3 гвоздики так, щоб серед них були як червоні, так і рожеві?
18.На столі лежать різні зошити і ручки – усього 16 штук. Відомо, що набір або з одного зошита і двох ручок, або із двох зошитів і однієї ручки можна вибрати 441 способом. Скільки зошитів лежить на столі, якщо їх більше, ніж ручок?
Теоретичні питання за вивченним матеріалом
1. Наведіть приклади задач, розв’язування яких вивчає комбінаторика.
2. Що називають факторіалом числа? Як його позначають?
3. За якою формулою можна обчислити кількість перестановок із n елементів?
4. За якою формулою можна обчислити кількість розміщень із n елементів
по k елементів?
5. За якою формулою можна обчислити кількість комбінацій із n елементів
по k елементів?
Додаткові задачі
- У таблиці наведено страви, які сьогодні є в меню їдальні.
|
І |
Борщ, бульйон, суп з локшиною. |
|
ІІ |
Голубці, котлети з рисом, смажена риба з картоплею, плов. |
|
ІІІ |
Узвар, апельсиновий сік. |
Скількома різними способами можна замовити обід в цій їдальні?
- На певному маршруті працює 10 автобусів: 3 білого кольору, 2 – червоного, 1 – синього і 4 – жовтого. Директор автопарку хоче зняти з цього маршруту 3 автобуси. Скільки всього існує різних варіантів вибору директором автобусів?
- Скільки всього різних двоцифрових чисел можна утворити з цифр 0, 2, 5, 7 і 9 так, що у кожному числі жодна цифра не повторюється?
- Скільки існує різних нескоротних дробів вигляду , якщо число m набуває значень 2; 6; 8 або 11, а число n набуває значень 12; 13; 19; 23 або 29?
- На столі лежить 9 різних блокнотів і 6 ручок. Скількома способами можна вибрати набір із 2 блокнотів і 3 ручок?
- У шухляді лежить 12 білих і 8 синіх різних хустинок. Скількома способами можна взяти із шухляди 4 хустинки так, щоб серед них були як білі, так і сині?
- На столі лежать різні лінійки і транспортири – усього 17 штук. Відомо, що набір або з однієї лінійки і двох транспортирів, або із двох лінійок і одного транспортира можна вибрати 495 способами. Скількома способами можна вибрати набір із трьох лінійок і одного транспортира, якщо лінійок більше, ніж транспортирів?
Творче завдання
- Підготувати презентацію за одною із тем:
1) Комбінаторика, як наука, та її застосування
2) Комбінаторні правила суми та добутку
3) Перестановки
4) Розміщення
5) Комбінації
6) Історія науки «Комбінаторика»
7) Розв’язування комбінаторних задач прикладного змісту
- Скласти 5 комбінаторних задач за вивченими темами, надати їх в електронному вигляді разом із розв’язанням
Підсумкова контрольна робота
- Скількома способами можна розставити на полиці 6 різних книг?
- Скільки різних слів можна одержати, переставляючи букви слова (словом вважається будь-яка послідовність букв) :
а) «квас»;
б) «торт»;
в) «піраміда»?
- Із цифр 0, 1, 2, 3, 8, 9 складають різні шестицифрові числа, які не містять однакових цифр. Скільки серед цих чисел:
а) не починаються із запису «120»;
б) парних?
- У класі навчаються 19 учнів. Скількома способами можна вибрати старосту та його заступника?
- Скільки існує двоцифрових чисел, усі цифри яких:
а) непарні й різні;
б) парні й різні?
- а) Скільки існує правильних дробів, чисельник і знаменник яких – різні натуральні числа , більші за 8?
б) Скільки існує нескоротних дробів, чисельник і знаменник яких – різні натуральні числа , не більші за 8?
- На столі стоять 14 різних чашок. Скількома способами можна взяти зі столу 2 чашки?
- У шухляді лежать 10 червоних і 7 жовтих різних олівців. Скількома способами можна вибрати із шухляди:
а) 6 червоних олівців;
б) 3 червоні й 5 жовтих олівців;
в) 4 олівці так, щоб серед них були як червоні, так і жовті?
Додаткові завдання
- Спростіть вираз:
- Розв’яжіть нерівність:
Критерії оцінювання підсумкової роботи
КРИТЕРІЇ ОЦІНЮВАННЯ НАВЧАЛЬНИХ ДОСЯГНЕНЬ УЧНІВ З МАТЕМАТИКИ У СИСТЕМІ ЗАГАЛЬНОЇ ОСВІТИ
До навчальних досягнень учнів з математики, які підлягають оцінюванню, належать:
- теоретичні знання, що стосуються математичних понять, тверджень, теорем, властивостей, ознак, методів та ідей математики;
- знання, що стосуються способів діяльності, які можна подати у вигляді системи дій (правила, алгоритми);
- здатність безпосередньо здійснювати уже відомі способи діяльності відповідно до засвоєних правил, алгоритмів (наприклад, виконувати певне тотожне перетворення виразу, розв'язувати рівняння певного виду, виконувати геометричні побудови, досліджувати функцію на монотонність, розв'язувати текстові задачі розглянутих типів тощо);
- здатність застосовувати набуті знання і вміння для розв'язання навчальних і практичних задач, коли шлях, спосіб такого розв'язання потрібно попередньо визначити (знайти) самому.
Відповідно до ступеня оволодіння зазначеними знаннями і способами діяльності виокремлюються такі рівні навчальних досягнень школярів з математики:
Початковий рівень ‑ учень(учениця) називає математичний об'єкт (вираз, формули, геометричну фігуру, символ), але тільки в тому випадку, коли цей об'єкт (його зображення, опис, характеристика) запропоновано йому (їй) безпосередньо; за допомогою вчителя виконує елементарні завдання.
Середній рівень ‑ учень (учениця) повторює інформацію, операції, дії, засвоєні ним (нею) у процесі навчання, здатний (а) розв'язувати завдання за зразком.
Достатній рівень ‑ учень (учениця) самостійно застосовує знання в стандартних ситуаціях, вміє виконувати математичні операції, загальні методи і послідовність (алгоритм) яких йому (їй) знайомі, але зміст та умови виконання змінені.
Високий рівень ‑ учень (учениця) здатний(а) самостійно орієнтуватися в нових для нього (неї) ситуаціях, складати план дій і виконувати його; пропонувати нові, невідомі йому (їй) раніше розв'язання, тобто його (її) діяльність має дослідницький характер.
Оцінювання якості математичної підготовки учнів з математики здійснюється в двох аспектах: рівень оволодіння теоретичними знаннями та якість практичних умінь і навичок, здатність застосовувати вивчений матеріал під час розв'язування задач і вправ.
Очікувані результати навчально-пізнавальної діяльності учнів при вивченні теми «Комбінаторика» за програмою з математики рівня стандарту
Учень/учениця:
розуміє що таке перестановки, розміщення, комбінації (без повторень);
обчислює кількість перестановок, розміщень, комбінацій; користуючись їх означенням і комбінаторними схемами;
пояснює зміст перестановок, розміщень, комбінацій;
застосовує теореми комбінаторики до навколишніх явищ для прийняття рішень
Критерії оцінювання підсумкової роботи
Враховуючи загальні критерії оцінювання здобувачів освіти, критерії оцінювання знань і умінь учнів з математики та очікувані результати навчально-пізнавальної діяльності учнів при вивченні теми «Комбінаторика»
можна розділити контрольну роботу за рівнями оцінювання навчальних досягнень здобувачів математичної освіти
Початковий рівень
- Скількома способами можна розставити на полиці 6 різних книг?
- Скільки різних слів можна одержати, переставляючи букви слова (словом вважається будь-яка послідовність букв) :
а) «квас»;
- На столі стоять 14 різних чашок. Скількома способами можна взяти зі столу 2 чашки?
Середній рівень
- Скільки різних слів можна одержати, переставляючи букви слова (словом вважається будь-яка послідовність букв) :
б) «торт»;
- У класі навчаються 19 учнів. Скількома способами можна вибрати старосту та його заступника?
- У шухляді лежать 10 червоних і 7 жовтих різних олівців. Скількома способами можна вибрати із шухляди:
а) 6 червоних олівців;
Достатний рівень
- Скільки різних слів можна одержати, переставляючи букви слова (словом вважається будь-яка послідовність букв) :
в) «піраміда»?
- Із цифр 0, 1, 2, 3, 8, 9 складають різні шестицифрові числа, які не містять однакових цифр. Скільки серед цих чисел:
б) парних?
- Скільки існує двоцифрових чисел, усі цифри яких:
а)непарні й різні;
б) парні й різні?
- а) Скільки існує правильних дробів, чисельник і знаменник яких – різні натуральні числа , більші за 8?
- У шухляді лежать 10 червоних і 7 жовтих різних олівців. Скількома способами можна вибрати із шухляди:
б) 3 червоні й 5 жовтих олівців;
Високий рівень
- Із цифр 0, 1, 2, 3, 8, 9 складають різні шестицифрові числа, які не містять однакових цифр. Скільки серед цих чисел:
а) не починаються із запису «120»;
- б) Скільки існує нескоротних дробів, чисельник і знаменник яких – різні натуральні числа , не більші за 8?
- У шухляді лежать 10 червоних і 7 жовтих різних олівців. Скількома способами можна вибрати із шухляди:
в) 4 олівці так, щоб серед них були як червоні, так і жовті?
Додаткові завдання (високий рівень для сильних учнів)
- Спростіть вираз:
- Розв’яжіть нерівність:
Використана література
- 1. Математика : алгебра і початки аналізу та геометрія,рівень стандарту : підруч. для 11 кл. закладів загальної середньої освіти / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський та ін. — Х. : Гімназія, 2019. — 208 с.
- 2. Математика : алгебра і початки аналізу та геометрія, профільний рівень : підруч. для 11 кл. закладів загальної середньої освіти / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський та ін. — Х. : Гімназія, 2019. — 352 с.
- 3. Істер О. С. Комбінаторика, біном Ньютона та теорія ймовірностей у школі. 1999.- 184 с.
- 4. К999.-ичні питання
- 4. ураарпік В.В. Алгебра та початки аналізу. 11 клас. Профільний рівень. І семестр. Вид. група «Основа», 2020.- 204с.